Предельный переход под знаком несобственного интеграла

Предельный переход под знаком интеграла : Математика (общие вопросы)

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Предельный переход под знаком интеграла. Приведем простые по форме и важные для приложений теоремы о предельном переходе под знаком. Предельный переход под знаком интеграла применения, в особенности к вопросу о вычислении несобственных интегралов. о предельном переходе под знаком интеграла, о перестановке . Теорема для неабсолютно сходящихся несобственных интегралов.

Поскольку при, Y имеет место оценка f, d g d, то, по критерию Коши, интеграл сходится равномерно. Рассмотрим f, d, интеграл в виде суммы: Поскольку p равномерно всюду. Для функции f, справедлива оценка, что d p, то исходный интеграл сходится абсолютно и Пример.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Поскольку f, e и интеграл e d, то интеграл сходится абсолютно и равномерно на луче [. Следовательно, он абсолютно сходится на полуоси.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Поскольку интеграл g d сходится, то исходный интеграл сходится абсолютно и равномерно по признаку Вейерштрасса. Равномерная ограниченность семейства функций F, означает существование константы K f, Y, д. Пусть функции f, g, определены при, Y и выполняются следующие условия:. Функция f, непрерывна по, семейство функций F, равномерно ограничено; 2.

Собственные интегралы, зависящие от параметра (стр. 1 из 6)

Существует частная производная g, непрерывная по и знакопостоянная при д. Семейство функций g, при равномерно относительно параметров Y.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Тогда интеграл I сходится равномерно на множестве Y. Наконец, из условия g, следует, что для произвольного, при д.

Вычисление несобственного интеграла второго рода. Пример 2

Проверим выполнение условий критерия Коши равномерной сходимости для интеграла I. Итак, окончательно имеем, что fgd, по критерию Коши, интеграл I сходится равномерно. Ясно, что признак Дирихле может быть применен к интегралам вида f, g d, f g, d. Оценим частные интегралы от функции 2 f: По признаку Дирихле, интеграл сходится равномерно.

Несобственные интегралы , зависящие от параметра

Функция f непрерывна по, интеграл f, d сходится равномерно на множестве Y ; 2. Семейство функций g равномерно ограничено, существует непрерывная по частная производная g, и знакопостоянная при Y и д. Введем константу K g, обозначение для F, см. Снова интегрируем по частям отрезок интеграла: Тогда для правой части равенства можно записать: Ясно, что признак Абеля может быть применен к интегралам вида f, g d, f g, d.

  • Научный форум dxdy
  • Интегралы, зависящие от параметра
  • Интегралы, зависящие от параметра. Несобственные интегралы с параметром

В первом случае требуется ограниченность функции g, непрерывность и знакопостоянство ее обыкновенной производной. Во втором непрерывность функции f и сходимость интеграла f d. Интеграл от функции f сходится.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Из неотрицательности переменных, следует, что g, семейство функций ограничено. По признаку Абеля, интеграл I сходится равномерно. Связь теорий несобственных интегралов -го рода, зависящих от параметра, и функциональных рядов. Знание этой связи значительно упрощает доказательство дальнейших утверждений, относящихся к несобственным интегралам, зависящим от параметра, сводя их к известным фактам теории функциональных рядов.

По определению Гейне, достаточно изучать случаи всех последовательностей Введем обозначение: Если же при всех и д.

Свойства несобственных интегралов -го рода, зависящих от параметра. Х, где Х и Х означают множества значений, принимаемых порознь х и у, причем Х имеет своей точкой сгущения конечное число.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

Пусть имеет место равномерная сходимость. Заменив в определении е на и соответственно выбрав д, возьмем теперь два значения у и у?

Тогда будем иметь, каково бы ни было х, f x,y? Если упомянутое условие выполнено, то прежде всего ясно существование предельной функции 2. Переходя затем к пределу в неравенстве 4 при у? Этим установлено равномерное стремление функции f x,y к предельной функции ц х. Тогда стремление это необходимо будет равномерным относительно х в промежутке Х. Интегрируемость предельной функции уже известна.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Формула 9 может быть записана в виде: При наличии ее говорят, что предельный переход по параметру допустим под знаком интеграла.